Наукова стаття

Шляхи формування комбінаторного мислення в 5-6 класах

Вступ

Нова програма з математики передбачає, що учень 5-го класу «розв’язує прості задачі комбінаторного характеру». Це нововведення можна тільки привітати. Адже комбінаторика, за словами Г. Фройденталя, є скелетом елементарної теорії ймовірностей. Грубі помилки у простих задачах комбінаторики зустрічаються навіть у студентів. Чому це відбувається?

 Адже власне математика, яка потрібна для розв’язання таких комбінаторних задач, є досить простою. Справа в тому, що своєчасно учні не набули відповідних умінь. У математиці є такі поняття, такі вміння, які формуються протягом тривалого терміну навчання ( поняття множини, числа, вміння розв’язувати рівняння, нерівності, текстові задачі тощо). До таких самих умінь відносяться і вміння розв’язувати комбінаторні задачі. Ці вміння слід формувати поступово, повільно ускладнюючи задачі, використовуючи методи, які відповідають віку дитини. При цьому не можна обмежуватися виділенням якоїсь кількості годин у старших класах, а необхідно досягти неперервності у вивченні комбінаторики. Забезпечення неперервності в навчанні комбінаторики є актуальним завданням у вітчизняній школі.

         Сформувати комбінаторне мислення неможливо упродовж короткого часу, в межах однієї теми. Про це дуже переконливо свідчить багаторічний досвід еволюції шкільного курсу математики: багато разів до нього вводились елементи комбінаторики. Це було і в 30-50 роках ХХ століття, коли алгебру викладали за підручником А. П. Кисельова, і в 70-х роках. Коли курс алгебри і початків аналізу вивчали за навчальним посібником під редакцією А. М. Колмогорова. Але кожного разу ця тема вилучалась зі шкільних програм. Причин для цього було багато. Але однієї з головних, на наш погляд. Є неможливість реалізувати при такому підході розвиваючий потенціал комбінаторики, встановити природні і міцні зв’язки з традиційним змістом.

         У зв’язку із зазначеним нововведенням виникають питання: які комбінаторні задачі має вміти розв’язувати п’ятикласник?, як його цього навчити? Сучасні підручники з математики для 5-го класу містять чимало комбінаторних задач, але багато з них у рубриці «Здогадайся» або «Задача від Мудрої Сови», тобто передбачається, як і раніше, що вони призначені не для всіх школярів, а для тих , хто проявляє зацікавленість, може здогадатись. Потрібна така методика навчання розв’язуванню комбінаторних задач, яка дала б змогу навчити всіх п’ятикласників розв’язувати певні типи задач, а головне, сприяла б формуванню комбінаторного  мислення в учнів.

         Формування комбінаторного мислення має здійснюватись у декілька етапів: у початковій школі, у 5-6 класах, у 7-9 класах, у старшій школі.

1.     Що таке комбінаторне мислення?

Під комбінаторним мисленням будемо розуміти такий вид розумової діяльності, який забезпечує усвідомлення варіативності ситуації, дає змогу розглядати і розрізняти різні варіанти подій, об’єктів, здійснювати їх перебір, підраховувати їх кількість.

Як і  інші типи мислення, комбінаторне мислення починається з виникнення пізнавальної потреби. У процесі створення такої потреби або здійснюється репродуктивна комбінаторна діяльність( розглядаються можливі варіанти розвитку ситуації, зі всіх варіантів вибирається оптимальний за деяким критерієм або обчислюється їх кількість), або виникає протиріччя між потребою і можливостями її задовольнити( неможливість розрізняти різні варіанти подій, їх систематизувати і структурувати, встановити, який варіант є оптимальним). Виникає необхідність у продуктивній комбінаторній діяльності, пов’язаній з конструюванням об’єктів мислення, їх упорядкуванням. Усвідомлення  такого протиріччя є фактичним початком мислення, спрямованого на його розв’язання.

Головним механізмом комбінаторного мислення є моделювання сукупності ситуацій, подій, об’єктів, тобто переклад задачі на іншу мову, яка залежить від методу розв’язування цієї задачі( мова символів, множин, вибірок тощо). Важливу роль при цьому відіграє введення і застосування відношення порядку на нечислових множинах.

Як і мислення  взагалі, комбінаторне мислення дає змогу пізнавати навколишній світ, аналізувати різні ситуації, які відбуваються в ньому. Воно спирається на почуттєве пізнання( безпосередній перебір предметів є прикладом пізнання за допомогою органів почуттів) і без нього неможливе, але воно не вичерпується ним і дає змогу проаналізувати такі ситуації, які недоступні органам почуттів.

Комбінаторика досліджує дискретні множини, тобто множини, які складені з окремих, відокремлених елементів. Переважно вона розглядає два види операцій: відбір підмножин і впорядкування елементів. Саме ці операції і є комбінаторними. Кількість і послідовність здійснення комбінаторних операцій визначається умовами задачі.

Змістом комбінаторного мислення є розміщення об’єктів  відповідно до спеціальних правил і знаходження кількості можливостей для реалізації шуканого розміщення.

Головною функцією комбінаторного мислення є виявлення, усвідомлення, постановка і розв’язування комбінаторних задач.

Комбінаторне мислення не можна ототожнювати з розв’язування комбінаторних задач, як і логічне мислення – з розв’язування логічних задач. Розв’язування комбінаторних задач здійснюється за допомогою комбінаторного мислення. Але комбінаторне мислення потрібно не тільки для розв’язування комбінаторних задач. Воно необхідне для багатьох типів задач як з математики, так і прикладних.

Найкраще комбінаторне мислення формується саме в процесі розв’язування комбінаторних задач. У ході подолання труднощів, пов’язаних з розв’язуванням комбінаторних задач і формується комбінаторне мислення.

2.     Метод перебору – головний метод розв’язування комбінаторних задач у молодших класах

Комбінаторні ідеї, уявлення, вміння є специфічними, незвичними, новими для учнів. Специфічні ідеї, уявлення потребують, поряд із загальними, специфічних методів для їх формування. Розглянемо деякі рекомендації стосовно методики навчання комбінаторики в 5-6 класах.